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17.1- Lei de Bragg

    A lei de Bragg prevê que em certas condições os raios X podem ser difratados por um cristal. Ao deduzi-la, não se toma conhecimento da célula unitária, pois esta diz respeito, apenas à intensidade dos feixes. As linhas inclinadas tracejadas da Fig.17.1a representam a interseção com o plano da figura, feita por um conjunto arbitrário de planos, que passam pelos centros difratores elementares (por exemplo em um cristal). A distância entre os planos adjacentes é igual a "d". Muitas outras famílias de planos, com diferentes espaçamentos interplanares, poderiam ser consideradas.

Fig. 17-1  Espalhamento atômico devido a lei de Bragg

    A Fig.17.1b mostra uma onda plana, pertencentes ao plano da figura, incidindo sobre um dos membros da família de planos indicados na Fig.17.1a segundo um ângulo de incidência q com o plano. Considere-se uma família de raios difratados, contidos no plano da Fig.17.1b e fazendo um ângulo b com o plano que contém os centros elementares de difração. Os raios difratados combinar-se-ão, produzindo um máximo de intensidade, se a diferença de percurso entre os raios adjacentes for igual a um número inteiro de comprimento de onda, isto é, se

    Para n = 0, vem que b = 0, e portanto, o plano dos átomos agirá como um espelho para a onda incidente, independentemente do valor de q .

    A Fig. 17.1c mostra uma onda incidindo sobre a família de planos da qual se considerou apenas um dos membros na de Fig.17.1b. Em cada plano ocorre uma reflexão especular para qualquer valor de q , como se viu. Para se ter uma interferência construtiva, do feixe raios X de difratado por toda a família de planos, na direção q ,  devem reforçar-se uns aos outros. Isto significa que a diferença de percursos entre os raios (abc) na Fig.17.1c vindos de planos adjacentes deve ser igual a um número inteiro de comprimentos de onda, ou seja,

Esta relação é chamada de Lei de Bragg, pois foi W. L. Bragg quem primeiro a deduziu. A grandeza d (afastamento interplanar) nesta equação é a distância entre dois planos sucessivos. Analisando-se os planos da Fig.17.1a , constata-se que d está relacionado com a dimensão a_o da célula unitária por

dentre os constituintes do feixe incidente.
 

17.2- Mudança de Fase na Reflexão

        Uma característica importante da onda refletida é a relação de fase que ela exibe em relação à onda incidente. Observou-se que quando a onda incidente vai de um meio de índice de refração menor para um meio com índice maior, a onda que é refletida de volta ao meio de menor refração, sofre uma variação de fase de 180^o. Por outro lado, quando a onda incidente vai da substância de maior índice para a de menor, a onda que é refletida de volta para o meio mais refringente não sofre variação de fase em relação à fase da onda incidente.
       Este fenômeno pode ser entendido usando o princípio do tempo reverso. Para isto tomemos um feixe incidindo em uma superfície de contato entre dois meios com índices de refração diferentes. Veja Fig.17-2. Seja o feixe incidente dado pela equação;

O feixe refletido na direção ON é dado por

Usando o princípio do tempo reverso, veja Fig.17-2, podemos construir os raios refratado e refletido, no sentido inverso, isto é do meio 2 para o meio 1.

Na direção OM,

Comparando as figuras 17-2a e 17.2b, temos que

17.3- Poder de Resolução

        As Fig.17-3a,b mostram o espectro de difração de Fraunhoffer por uma abertura circular. Esta figura tem aplicações importantes na resolução de muitos instrumentos óticos, como por exemplo, microscópios e telescópios. O ângulo q subtendido pelo primeiro mínimo de difração está relacionado ao comprimento de onda e ao diâmetro da abertura, D, por

Fenda circular
Fenda retangular

onde l é o comprimento de onda da onda da onda eletromagnética difratada. O fator 1,22 aparece na análise matemática da situação, que é semelhante à que foi feita para uma fenda simples, porém mais complicada em virtude da geometria circular. Em muitas aplicações, o ângulo q é pequeno e sen(q ) pode ser aproximado  por q . O primeiro mínimo de difração, portanto, subtende um ângulo q dado por,

Fig.17-3 Poder de resolução

Variando a resolução de um instrumento ótico

    A Fig.17-3c mostra duas fontes puntiformes que subtendem um ângulo q em uma abertura circular afastada das fontes. Nesta figura também aparecem as figuras de difração de Fraunhoffer. Se q for muito maior que 1,22 l /D, as fontes serão vistas como duas fontes distintas. No entanto, se q diminuir, a superposição das  iguras de difração aumenta, e fica difícil distinguir as duas fontes. Na separação angular crítica q_c , dada por

o primeiro mínimo da figura de difração de uma fonte coincide com o máximo central da outra fonte. Os objetos então estão resolvidos pelo critério de resolução de Rayleigh. As Fig.17-3c,d mostram o espectro de difração de duas fontes quando q for maior que o ângulo crítico de resolução e quando a é aproximadamente igual ao ângulo crítico de resolução.

    A equação acima tem muitas aplicações. O poder de resolução de um instrumento ótico, como um microscópio ou um telescópio, refere-se à capacidade de o instrumento resolver dois objetos que estejam muito próximo um do outro. As imagens dos objetos tendem-se a se superpor em virtude da difração na abertura da entrada do instrumento. Podemos ver que, pela equação do q_c, o poder de resolução pode ser aumentado ou pelo aumento do diâmetro D da lente, ou pela  diminuição do comprimento de onda.
 

Aplicações : Poder de Resolução

a)- Uma lente convergente de 3,0 cm de diâmetro tem uma distância focal de 20,0 cm. Que separação angular devem ter os dois objetos puntiformes distantes de forma a satisfazerem a relação de Rayleigh ? Suponha l = 5,500 Angstrom.

b)- Suponha que os faróis dos automóveis estejam, em média, 1,5m afastado um do outro e que o comprimento de onda médio emitido por eles é de 5,500 Angstrom. Nota-se que quando um carro está muito longe, parecem ter apenas um farol. Explique este fenômeno e determine quão longe um carro deve estar quando um farol parece magicamente mudar para dois. A pupila dos olhos tem cerca de 5,0 mm de diâmetro.

De acordo com a figura abaixo, temos que

Fig.17-4 Afastamento dos faróis de um carro visto por um observador

17.4- Polarização

    Uma propriedade da luz, importante e útil, é que ela pode ser polarizada. Para ver o que isto significa, examinaremos ondas mecânicas produzidas em cordas, isto facilitará a compreensão do conceito de polarização. Podemos fazer uma corda vibrar numa dada direção, como por exemplo paralelo ou perpendicular ao plano formado pela fenda da Fig.17-5. Em ambos casos a onda é dita ser plano-polarizada, isto é, as oscilações ocorrem um plano específico. Agora, se colocamos um obstáculo contendo uma fenda vertical no caminho da onda, observamos que uma onda verticalmente polarizada (Fig.17-5a) passará, enquanto a horizontalmente polarizada não passará (Fig.17-5b). Contrariamente, se uma for usado uma fenda horizontal, a onda polarizada não passará. Note que polarização somente pode existir para ondas transversas e não para ondas longitudinais como as sonoras.

Fig.17-5   Polarização de ondas mecânica em uma corda

    A analogia com as ondas sonoras sugere que as ondas eletromagnéticas se propagam na direção normal às frentes de onda, isto é, na direção x para onda que estamos considerando. Portanto, a nossa conclusão pode ser expressa da seguinte forma: os campos elétricos e magnéticos da onda só podem ter componentes em direções transversais à direção de propagação. A onda eletromagnética deve ser uma onda transversal. Em qualquer onda transversal, a vibração é perpendicular à direção de propagação da onda. Se a vibração da onda transversal ficar paralela a uma reta fixa no espaço, a onda é linearmente polarizada. Podemos visualizar, com maior facilidade, a polarização, considerando as ondas mecânicas em uma corda. Se uma das extremidade da corda oscilar para cima e para baixo, as ondas resultantes que percorrem a corda estão linearmente polarizada, com cada elemento da corda vibrando em uma única direção. Analogamente, se uma extremidade da corda percorrer uma circunferência de círculo, com velocidade constante, a onda resultante estará circularmente polarizada. Neste caso, cada elemento da corda descreve um arco de círculo completo.

    São quatro os fenômenos que produzem luz polarizada a partir de luz não polarizada: a) abosorção, b) reflexão, c) espalhamento e d) birrefringência ou dupla refração.
 

a)- Polarização por Absorção

    Muitos cristais naturais, quando cortados apropriadamente, absorvem e transmitem luz de maneira que depende da polarização da luz. Estes cristais podem ser usados para se ter luz linearmente polarizada. Um destes materiais polarizador é o polaróide o qual é formado por moléculas de hidrocarbonetos de cadeia longa, alinhadas, no processo de fabricação. Estas cadeias tornam-se condutoras nas freqüências óticas, quando a película é mergulhada numa solução de iodo. Quando a luz incide com o seu vetor campo elétrico paralelo às cadeias do polímero, as correntes elétricas que se estabelecem moléculas absorvem a energia da luz. Se o campo elétrico for perpendicular às cadeias, a luz será transmitida. A direção perpendicular às cadeias é o eixo de transmissão.

    Imaginemos um feixe de luz não polarizada deslocando-se na direção z, e que incide sobre um polarizador com o seu eixo de transmissão na direção x. Em média, a metade da luz incidente tem o seu eixo de transmissão na direção x e a outra metade direção y. Então, a metade da intensidade da luz será transmitida e a outra metade absorvida. A luz transmitida será linearmente polarizada.

    Suponhamos agora que temos uma outra película polarizada cujo eixo de transmissão faça um ângulo q com o eixo da primeira película, como está na Fig.17-6. O campo elétrico transmitido na segunda película é igual a Ecos(q ).
Uma vez que a intensidade da luz é proporcional a E², a intensidade da luz transmitida pelos dois polarizadores será dada pela lei de Malus, isto é,

onde I_o é a intensidade da luz que incide sobre o segundo polarizador e que é a metade da intensidade da luz incidente sobre o primeiro polarizador. Quando as duas películas estão montadas em sucessão, na direção de um feixe de luz, como se descreveu anteriormente, a primeira película ou filtro é denominada por  polarizador e a segunda por analisador.

        Em particular, se os eixos de transmissão do polarizador e o do analisador formam um ângulo de 90^o, a luz não será transmitida.
 

b)- Polarização por Reflexão

    Quando há reflexão de luz não polarizada, em uma superfície plana entre dois meios transparentes, a luz refletida é parcialmente polarizada. O grau de polarização depende do ângulo de incidência e dos índices de refração dos dois meios materiais. Quando o ângulo de incidência for tal que os raios refletidos e refratados forem perpendiculares um ao outro, a luz refletida está polarizada. Este efeito foi descoberto experimentalmente por Sir David Brewster em 1812, veja Fig.17-7.

    A Fig.17-8 mostra a luz incidente no ângulo de polarização q_p, para o qual a luz refletida está completamente polarizada. O campo elétrico da luz incidente pode ser decomposto em componentes paralelas e perpendiculares ao plano de incidência. A luz refletida está completamente polarizada com o campo elétrico  perpendicular ao plano de incidência.

Fig.17-8 Polarização por reflexão

        Podemos achar a relação entre o ângulo de polarização e os índices de refração dos dois meios, mediante a lei de Snell. Se n₁ for o índice de refração do primeiro meio e n₂ o do segundo meio, a lei de Snell nos dá

onde q₂ é o ângulo de refração. Pela Fig.17-8, podemos ver que a soma do ângulo de reflexão com o ângulo de refração é 90^º Uma vez que o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, temos

Então

A equação acima é conhecida como lei de Brewster . Embora a luz refletida esteja completamente polarizada, quando o ângulo de incidência for q_p , a luz transmitida está parcialmente polarizada, pois somente uma pequena fração da luz incidente é refletida. Se a luz incidente for polarizada, com o campo elétrico paralelo ao plano de incidência, não há luz refletida no ângulo de incidência q_p, veja Fig.17-9. Em virtude da polarização da luz refletida, os óculos para o sol podem ser muito eficientes na redução da luz ofuscante.

Fig.17-9 Luz polarizada incidindo sob o ângulo de polarização

c)- Polarização por Espalhamento

    O fenômeno da absorção de luz, e sua reirradiação, é o espalhamento (também chamado de difusão da luz). O espalhamento pode ser demonstrado pela passagem de um feixe de luz através de um vaso com água, a que se tenha juntado uma pequena quantidade de leite em pó. As partículas do lei absorvem a luz e a reirradiação, fazendo com que o feixe fique visível ao atravessar a água. Analogamente, os feixes de laser podem ficar visíveis no ar pela introdução de pó de giz, ou de partículas de fumaça, no ar, para espalhar a luz. Um exemplo familiar do espalhamento da luz é o de aglomerados de moléculas de água (que se formam em virtude de flutuações aleatórias da densidade do ar atmosférico) que têm maior tendência a espalhar os comprimentos de onda menores que os maiores, o que atribui ao céu a sua cor azul.
    Podemos entender a polarização pelo espalhamento, se imaginarmos que uma molécula absorvedora atua como antena de dipolo elétrico que irradia ondas com uma intensidade máxima em uma direção perpendicular à antena, com o vetor campo elétrico paralelo ao eixo da antena, e com intensidade nula na direção do eixo da antena. Veja Fig.17-10.

d)- Polarização por Birrefringência e Polarização Circular

    A birrefringência, ou dupla refração, é um fenômeno complicado que ocorre na calcita e em outros cristais que não pertencem ao sistema cúbico, e também em plástico sob tensão, como o celofone. Ma maioria dos materiais, a velocidade da luz é a mesma qualquer que seja a direção de propagação. Estes materiais são isotrópicos. Em virtude da estrutura atômica, os materiais birrefringentes são anisotrópicos. A velocidade da luz depende da direção de propagação através do material. Quando o raio de luz incidir sobre um material deste tipo, é possível separá-lo em dois raios, o raio ordinário e o raio extraordinário. Estes raios estão polarizados em direções mutuamente perpendiculares, e têm velocidade de propagação diferentes. Dependendo da orientação relativa entre o material birrefringente e a luz incidente, os raios podem tambem ter diferentes direções de propagação. Há uma certa direção, em um material birrefringente, na qual os dois raios se propagam com a mesma velocidade. Esta direção é o eixo ótico do material. Nada incomum acontece quando a luz se propaga no ao longo do eixo ótico. Porém, quando a luz incidente atinge a superfície sob um ângulo diferente de zero em relação ao eixo ótico, os raios se propagam em direções diferentes e emergem separados no espaço. Se o material girar, o raio extraordinário gira também no espaço.

    Se a luz for incidente sobre uma lâmina birrefringente, perpendicular à face cristalina da lâmina e perpendicular ao eixo ótico, os dois raios se propagam, na  mesma direção mas com velocidades diferentes, pois os comprimentos de onda dos raios são diferentes. Os raios emergem com diferença de fase que depende da espessura da lâmina e do comprimento de onda incidente. Numa lâmina de quarto de onda a espessura é tal que há uma diferença de 90^o entre as fases das ondas de um certo comprimento de onda, na emergência da placa. Numa lâmina de meia onda, os raios emergem com uma diferença de fase de 180^o.

Vamos supor que a direção de polarização da lâmina faça uma ângulo arbitrário q com o eixo y, como mostra a Fig.17-11. A amplitude instantânea da onda linearmente polarizada transmitida pela lâmina é

A intensidade da onda transmitida pela lâmina é proporcional a E², ou

O olho e outros instrumentos de medida respondem somente à intensidade média I, que é encontrada substituindo-se sen(wt + q ) pelo o seu valor médio em um ou mais ciclos, assim

.

Fig.17-11  Polarização circular ou por birrefringência
 

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          Last Updated: Dec/12/2000
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